MBA備考：數學的排列組合與集合的關系

2016-09-28 17:24 | 太奇MBA網

MBA備考：數學的排列組合與集合的關系

    　　2017年考研復習已經進入了沖刺復習階段，太|奇MBA老師提醒考生，復習固然是考研中很重要的一環，但是考研信息的關注也十分的重要，在我們專注于考研復習的同時千萬不要忽略掉考研相關信息資料的發布。MBA綜合中數學的部分有一部分是考察排列組合與集合的關系 求排列組合就是求集合元素的個數。下面告訴MBA同學們用集合的觀點去解決排列組合的問題，思路會更清晰。

　　一、集合元素的個數以最常見的全排列為例，用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重復的九位數，則每一個九位數都是集合A的一個元素，集合A中共有9!個元素。以下我們用S(A)表示集合A的元素個數。

　　二、集合的對應關系兩個集合之間存在對應關系(以前學的函數的概念就是集合的對應關系)。如果集合A與集合B存在一一對應的關系，則S(A)=S(B)如果集合A中每個元素對應集合B中N個元素，則集合B的元素個數是A的N倍(嚴格的定義是把集合B分為若干個子集，各子集沒有共同元素，且每個子集元素個數為N，這時子集成為集合B的元素，而A的元素與B的子集有一一對應的關系，則S(B)=S(A)*N

　　例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重復的六位數集合A為數字不重復的九位數的集合，S(A)=9!集合B為數字不重復的六位數的集合。把集合A分為子集的集合，規則為前6位數相同的元素構成一個子集。顯然各子集沒有共同元素。每個子集元素的個數，等于剩余的3個數的全排列，即3!這時集合B的元素與A的子集存在一一對應關系，則 S(A)=S(B)*3! S(B)=9!/3!這就是我們用以前的方法求出的P(9，6)

　　例2：從編號為1-9的隊員中選6人組成一個隊，問有多少種選法？設不同選法構成的集合為C，集合B為數字不重復的六位數的集合。把集合B分為子集的集合，規則為全部由相同數字組成的數組成一個子集，則每個子集都是某6個數的全排列，即每個子集有6!個元素。這時集合C的元素與B的子集存在一一對應關系，則 S(B)=S(C)*6! S(C)=9!/3!/6!這就是我們用以前的方法求出的C(9，6) 以上都是簡單的例子，似乎不用弄得這么復雜。但是集合的觀念才是排列組合公式的來源，也是對公式更深刻的認識。大家可能沒有意識到，在我們平時數物品的數量時，說1，2，3，4，5，一共有5個，這時我們就是在把物品的集合與集合(1，2，3，4，5)建立一一對應的關系，正是因為物品數量與集合(1，2，3，4，5)的元素個數相等，所以我們才說物品共有5個。我寫這篇文章的目的是把這些潛在的思路變得清晰，從而能用它解決更復雜的問題。

　　例3：9個人坐成一圈，問不同坐法有多少種？ 9個人排成一排，不同排法有9!種，對應集合為前面的集合A 9個人坐成一圈的不同之處在于，沒有起點和終點之分。設集合D為坐成一圈的坐法的集合。以任何人為起點，把圈展開成直線，在集合A中都對應不同元素，但在集合D中相當于同一種坐法，所以集合D中每個元素對應集合A中9個元素，所以S(D)=9!/9 我在另一篇帖子中說的方法是先固定一個人，再排其他人，結果為8!。這個方法實際上是找到了一種集合A與集合D之間的對應關系。用集合的思路解決問題的關鍵就是尋找集合之間的對應關系，使一個集合的子集與另一個集合的元素形成一一對應的關系。

　　例4：用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重復的九位數，但要求1排在2前面，求符合要求的九位數的個數。集合A為9個數的全排列，把集合A分為兩個集合B、C，集合B中1排在2前面，集合C中1排在2后面。則S(B)+S(C)=S(A)在集合B、C之間建立以下對應關系：集合B中任一元素1和2位置對調形成的數字，對應集合C中相同數字。則這個對應關系為一一對應。因此S(B)=S(C)=9!/2 以同樣的思路可解出下題：從1、2、3…，9這九個數中選出3個不同的數作為函數y=ax*x+bx+c的系數，且要求a>b>c，問這樣的函數共有多少個？

　　例5：M個球裝入N個盒子的不同裝法，盒子按順序排列。這題我們已經討論過了，我再用更形象的方法說說。假設我們把M個球用細線連成一排，再用N-1把刀去砍斷細線，就可以把M個球按順序分為N組。則M個球裝入N個盒子的每一種裝法都對應一種砍線的方法。而砍線的方法等于M個球與N-1把刀的排列方式(如兩把刀排在一起，就表示相應的盒子里球數為0)。所以方法總數為C(M+N-1，N-1) 例6：7人坐成一排照像， 其中甲、乙、丙三人的順序不能改變且不相鄰， 則共有多少種排法.。
　解：甲、乙、丙三人把其他四人分為四部分，設四部分人數分別為X1，X2，X3，X4，其中X1，X4》=0，X2，X3》0 先把其余4人看作一樣，則不同排法為方程 X1+X2+X3+X4=4的解的個數，令X2=Y2+1，X3=Y3+1 化為求X1+Y2+Y3+X4=2的非負整數解的個數，這與把2個球裝入4個盒子的方法一一對應，個數為C(5，3)=10 由于其余四人是不同的人，所以以上每種排法都對應4個人的全排列4!，所以不同排法共有C(5，3)*4!=240種。集合的方法運用熟練后，不需要每次具體設定集合，但頭腦中要有清晰的對應關系。