MBA聯(lián)考數(shù)學從數(shù)列遞推到N球配對知識點
2015-02-03 10:48 | 太奇MBA網(wǎng)
管理類碩士官方備考群，考生互動，擇校評估，真題討論 點擊加入備考群>>MBA管理類聯(lián)考數(shù)學知識點：從數(shù)列遞推到N球配對問題
今天太奇MBA小編給MBA同學們整理出求簡單遞推數(shù)列通項公式的通用解法，并由此思路解一個老題
以下記A(N)為數(shù)列第N項
1、已知A1=1，A(N)=2A(N-1)+1，求數(shù)列通項公式
解：由題意，A(N)+1=2[A(N-1)+1]
即 A(N)+1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列來源：www.examda.com
因此 A(N)+1=2^N
數(shù)列通項公式為 A(N)=2^N-1
2、通用算法
已知A1=M，A(N)=P*A(N-1)+Q，P《》1，求數(shù)列通項公式
解：設(shè) A(N)+X=P*[A(N-1)+X]
解得 X=Q/(P-1)
因此 A(N)+Q/(P-1)是以A1+Q/(P-1)為首項，P為公比的等比數(shù)列
由此可算出A(N)通項公式
3、已知A1和A2， A(N)=P*A(N-1)+Q*A(N-2)，求數(shù)列通項公式
解題思路：設(shè) A(N)+X*A(N-1)=Y*[A(N-1)+X*A(N-2)]
代入原式可得出兩組解，對兩組X，Y分別求出
A(N)+X*A(N-1)的通項公式
再解二元一次方程得出A(N)
注：可能只有一組解，但另有解決辦法。4、現(xiàn)在用上面的思路來解決一個著名的問題：
N個球和N個盒子分別編號從1到N，N個球各放入一個盒子，求沒有球與盒子編號相同的放法總數(shù)。
解：設(shè)A(N)為球數(shù)為N時滿足條件的放法(以下稱無配對放法)總數(shù)，易知A1=0，A2=1，當N》2時，一號球共有N-1種放法，假設(shè)1號球放入X號盒子，在剩下的N-1個球和N-1個盒子中，如X號球正好放入1號盒子，問題等價于有N-2個球的無配對放法，放法總數(shù)為：A(N-2)
在剩下的N-1個球和N-1個盒子中，如X號球沒有放入1號盒子，則可以把X號球看作1號球，問題等價于有N-1個球的無配對放法，放法總數(shù)為：A(N-1)
因此有 A(N)=(N-1)*[A(N-1)+A(N-2)]
上式可變換為： A(N)-NA(N-1)=-[A(N-1)-(N-1)*A(N-2)]
按等比數(shù)列得出： A(N)-NA(N-1)=(-1)^N
上式除以N!得出：
A(N) A(N-1) (-1)^N
------- = ---------------- + -----------------
N! (N-1)! N!
把 A(N)/N!當作新的數(shù)列， 把(-1)^N/N!也作為一個數(shù)列，則 A(N)等于數(shù)列 (-1)^N/N!從第二項到第N項的和再乘以N
另外可得出：
N球恰有K球與盒子配對的放法總數(shù)為： C(N，K)*A(N-K)
